Náhodná hra

Princip této náhodné hry je velmi jednoduchý. V rovině zvolíme trojúhelník ABC a bod P.

Na trojúhelník ani na bod nemáme žádné další požadavky – můžeme zvolit libovolný trojúhelník, my jsme zvolili rovnostranný trojúhelník. Bod P může být libovolný bod roviny.

Obecnější volby si můžete vyzkoušet v interaktivnmím appletu.

Do dalšího postupu zapojíme náhodu. Budeme házet (spravedlivou) kostkou a podle výsledku hodu budeme konstruovat další bod:

  • Padne-li na kostce 1 nebo 6, sestrojíme bod P1  jako střed úsečky PA.
  • Padne-li na kostce 2 nebo 5, sestrojíme bod P1  jako střed úsečky PB.
  • Padne-li na kostce 3 nebo 4, sestrojíme bod P1  jako střed úsečky PC.

V dalším kroku budeme postupovat obdobně. Hodíme kostkou a podle výsledku zkonstruujeme další bod:

  • Padne-li na kostce 1 nebo 6, sestrojíme bod P2  jako střed úsečky P1A.
  • Padne-li na kostce 2 nebo 5, sestrojíme bod P2  jako střed úsečky P1B.
  • Padne-li na kostce 3 nebo 4, sestrojíme bod P2  jako střed úsečky P1C.

Obdobně pak konstruujeme body P3P4P5, ... , Pn.

Na následujících obrázcích hrajeme tuto hru pro daný rovnostranný trojúhelník a zároveň pro dva zvolené body (jsou odlišeny barevně). Pro každý ze zvolených bodů je v každém kroku samostatně "házeno kostkou", tedy jsou to vlastně dvě stejné náhodné hry zakreslené do jednoho obrázku. Číslo n napsané u obrázku je počet provedených kroků hry.

Z těchto prvních devíti kroků není zřejmá žádná struktura, zrychlíme postup ...

Tady už nějaká struktura znatelná je, stačí se jen pozorně dívat. Ale aby bylo opravdy zřejmé, jakým zákonitostem vznikající body podléhají, je potřeba ještě zrychlit....

Vznikající fraktální struktura tzv. Sierpinského trojúhelníku je již poměrně zřejmá, v dalších krocích ji pouze upřesňujeme a zjemňujeme ...

A nakonec ještě animace pro 2000 kroků se skokem 20: